Matrices especiales

Matrices Especiales 

Matrices especiales (Todas las matrices son cuadradas)

Las matrices que a continuación enumeramos , son matrices  que generalmente  se encuentran en el algebra lineal

Matriz Identidad

Llamamos matriz identidad a la matriz cuadrada donde tienen el mismo numero de filas como de columnas, formada por unos en la  diagonal y ceros en las demás entradas (Posiciones). La representamos por  In  donde n es la dimensión de la matriz. 

               

Matriz Diagonal

 Todos los elementos son nulos excepto los de la diagonal, esto es, los elementos que tienen el mismo numero de filas que de columnas , Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no son de la diagonal son cero (0). 

2X2

3X3

4X4

 Este tipo de matrices se suelen escribir indicando la diagonal

Matrices Triangulares

Las matrices triangulares se utilizan mucho en el algebra lineal, por que invertir una matriz triangular, calcular su determinante o incluso resolver sistemas de ecuaciones lineales con este tipo de matrices es mucho mas difícil que con matrices que tienen elementos diferentes de 0 en todas las posiciones.

Matriz triangular inferior

Una matriz triangular inferior es aquella matriz cuadrada que tiene un cero(0) en cada elemento que esta por encima de la diagonal principal.

Ejemplo de matriz inferior

 A veces también se llama a esta matrices con la letra U, para la matriz triangular superior, y con la letra L, para la matriz triangular inferior. Aunque esta nomenclatura se utiliza sobre todo en ingles. 

 Matriz triangular inferior 

Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son cero (0)

Ejemplo de matriz triangular superior

Matriz Transpuesta

La matriz transpuesta, es la matriz que se obtiene al cambiar las filas por columnas. La matriz traspuesta se representa poniendo una (t) arriba a la derecha de la matriz (AT)

Ejemplo

 Para transponer la matriz A  tan solo tenemos que cambiar las filas por las columnas, es decir, la primera fila de la matriz pasa a ser la primera columna de la matriz, y la segunda fila de la matriz se convierte en la segunda columna  de la matriz.

Matriz Simétrica

La matriz simétrica es una matriz cuadrada cuya traspuesta es igual a la propia matriz

AT = A

Donde( AT) representa la matriz transpuesta de A

Reconocer la estructura de una matriz simétrica : el elemento de la fila i y la columna j tiene que ser idéntico al elemento de la fila j y columna i . Y los valores de la diagonal principal de la matriz pueden ser cualesquiera.

Al trasponer estas tres matrices se comprueba que son simétricas, porque las matrices traspuestas son equivalentes a sus respectivas matrices originales.

Matriz Antisimétricas

Una matriz Antisimétrica es una matriz cuadrada cuya traspuesta es igual a la negativa de la matriz.
                                                         A^T = -A

Donde representa la matriz transpuesta de  A^T  y -A
Es la matriz con todos sus elementos cambiados de signo.
Una vez ya sabemos el concepto de matriz antisimétrica, vamos a ver varios ejemplos de matriz antisimétrica para entenderlo mejor:
Ejemplo:  

Al trasponer estas tres matrices se comprueba que son antisimétricas. porque las matrices traspuestas son equivalentes a sus respectivas matrices originales cambiadas de signo.

Matriz Hessenberg

Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg superior si todos los elementos por debajo de la diagonal -1 son nulos. Recordamos que la diagonal -k es la diagonal numero k por debajo de la diagonal (principal).

Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg inferior si todos los elementos por arriba de la diagonal -1 son nulos. Recordemos que la diagonal k es la diagonal numero k por arriba de la diagonal (principal).

Matriz Ampliada

La matriz ampliada es la unión de la matriz de nuestro sistema y la matriz identidad. Esta matriz la podemos usar con el método de Gauss-Jordán para encontrar la inversa también.

Ejemplo: