Espacios Vectoriales

•  Que son los espacios vectoriales 

        Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa  que satisface 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y  a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares .

Importante

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemáticas, la ciencia y la ingeniería. Se utiliza en rutinas modernas  de comprensión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales.

• Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es espacio vectorial

      Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los siguientes axiomas:

1. Ley de composición interna: si Ū y ṽ son vectores de V, entonces (Ū+ ṽ) está en V.

2. Propiedad conmutativa: si Ū y ṽ son vectores de V, entonces Ū+ ṽ = ṽ + Ū.

3. Propiedad asociativa: si Ū y ŵ son vectores de V, entonces Ū + (ṽ + ŵ) = (Ū + ṽ) + ŵ.

4. Existencia del elemento neutro: Existe un vector V, denominado vector nulo, tal que para cualquier vector Ū de V: Ō + Ū = Ū+ Ō= Ū.

5. Existencia del elemento inverso aditivo: Para todo vector  Ū de V existe un vector - Ū en V, denominado opuesto de Ū tal que Ū+(Ū) = (-Ū) + Ū = Ō.

6. Ley de composición externa:  si A: es cualquier numero real de Ū es cualquier vector de V, entonces (A. Ū) esta en V.

7. Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si A: es cualquier numero real y Ū y ṽ son vectores de V, entonces A*(Ū+ ṽ) =A* Ū+A* ṽ.

8. Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si A y B son cualquier par de escalares y Ū es cualquier vector de V entonces (A+B) * Ū=A* Ū+B* Ū.

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• Que es un subespacio vectorial

      

En el algebra lineal un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características 

• Enumere tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio

  1. Si X ∈ H y Y ∈ H, entonces X + Y ∈ H

  2. SI X ∈ H, entonces AX ∈ H para cada escalar A 

  3. Un subespacio propio de una espacio vectorial V es un subespacio de V diferente de {0} y de V 

• Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base 

Dimensión

Si  el espacio vectorial V tiene una base con numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores  en todas las bases y V se denomina espacio vectorial  de dimensión finita . De otra manera , V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces entonces se pide que  V tiene dimensión 0.

La dimensión V se denota como dim V.

Si H es un subespacio del espacio de dimensión infinita V, entonces dim H <=dim V

Rango

Sean V,W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T∈(V,W). el rango de T se define como la dimensión de la imagen de T:

                                       r(T)=dim(im(T)

Base

Un conjunto finito de vectores {V1, V2,  ...., Vn} es una base para un espaio vectorial V si

1. {V1, V2, ..., Vn} es linealmente independiente

2. {V1, V2, ..., Vn} genera a V

Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en ℝn es una base en  ℝn